设想如下的场景，一位准大学生正在寻找他心仪的大学，而他所面对的上千所高校，在各项指标上（如地理位置、学术质量、奖惩制度等）都有不同的特点，他应该如何选择呢？当然，他可以使用College Prowler [2] 这样的工具，通过不断设定过滤条件来筛选合适的学府，但这样的操作繁琐而不直观，数据探索的效率低。或许，他也可以利用高维投影(projection)、内部布局(interior layout)等方法，将这些多维数据直观展现在二维平面上。但这类方法不能兼顾表现数据与维度，他需要在多个视图中切换以观察各类信息，如学校的分布（数据关系）、指标的关联（维度关系）以及各校评分（数值情况）等等。文章作者提出了数据语境图（Data Context Map）的方法[1]，该方法将数据与维度信息融合在同一个视图中，让用户能够快速地整合分析数据和维度的分布以及联系。
距离矩阵
数据语境图本质上是一种空间布局方法(space embedding)。这类方法基于给定的距离矩阵，建立满足特定需求的布局以表现数据距离。传统的距离矩阵只反映各个数据，或是不同维度之间的关系。而数据语境图利用复合距离矩阵(Composite Distance Matrix)来融合数据及其“语境”（即维度信息），这正是该方法的核心所在。记数据矩阵为DD，维度矩阵为VV，在两者之间插入如图1 (b) 所示的矩阵DV和VD，就组成了复合矩阵。其中DV矩阵的行、列分别对应数据与维度，表达了每个数据和每个维度的“距离”。那么，要如何理解这种距离定义呢？
图1 构建复合距离矩阵
在归一化的数据空间中，维度是有方向的单位向量（如图1 (a)），而向量自然也能用其顶点来表示。这个“维度点”只在相应的维度上取值为1，其它维度都为0。将维度和数据看成同一个空间的点以后，自然可以应用各种距离度量了。矩阵VD在维度空间中也有类似的定义。然而，由于距离矩阵的对称性要求，DV与VD必须互为转置，而不同的度量无法保证这一点。因此文中对这两个矩阵采用了简单而统一的距离度量，即所谓“1-value”距离：记数据的某维度取值为v，它与该维度点的距离就是(1-v)。数据取值越高，它与维度点的距离越近，从而点的距离就反映了数值信息。
布局算法
图2 维度点与数据点的共同布局
定义了复合距离矩阵后，就可以同时对维度点和数据点进行布局。作者采用了Glimmer MDS [3]的迭代布局方法，用户可以根据分析需求选择不同的布局方案。譬如先按维度矩阵VV布局，固定维度点后按复合矩阵散布各个数据点，从而更准确地显示维度关系；或是反之以强调数据关系。默认的方案则是同时布局维度点和数据点（如图2）。
布局划分
如图2所示，数据点按其取值最高的维度着色，可见布局结果已经能反映维度与数据之间的定性信息。但更多时候，决策需要定量数据的支持，譬如精确的过滤条件和数值范围。为了进一步表现数值信息，作者对布局空间作了填充和量化（如图3）。
图3 布局空间的填充与量化
其中空间填充采用了自适应的核密度估计方法(Adaptive Kernel Density Estimation, [4])，空间某一点P以各个数据点的核函数值为权重作插值:
从而形成了密度图（图3(b)）。每个维度的密度图都通过等值线进行量化（图3(c)），用户就能了解特定的数值范围在图中对应的区域。
案例分析
图4 基于筛选条件的区域划分
最后，还是回到选择大学的场景来分析数据语境图的实际效果。这位准大学生用户希望找到一所学术水平高(>9)、体育风气好(>9)、学费较低(<$18,000)的大学。在他输入了所有筛选条件后，数据语境图以不同的颜色呈现了这些条件所对应的区域（如图4），其中紫色、橙色和绿色区域分别对应了以上三个条件。然而，他很快发现并不存在三种颜色都重叠的区域。于是他退而求其次，找到了两色重叠、且与另一区域距离较近的几所大学，分别是图中的A、B、C三点。注意维度点在这里起了引导作用，因为与维度点的距离反映了数据的取值。
总的来说，数据语境图弥补了传统算法普遍缺少维度语境的缺点。加上针对数值范围的区域划分，这一方法能够在同一个视图中表现数据、维度、数值等多种信息，是对已有投影布局方法的一个有益扩充。
[1] Cheng, S., Mueller, K. The Data Context Map: Fusing Data and Attributes into a Unified Display. IEEE Trans. Vis. Comput. Graph. (InfoVis), 2015, to appear.
[2] https://colleges.niche.com/
[3]S. Ingram, T. Munzner, M. Olano, “Glimmer: Multilevel MDS on the GPU,” IEEE Trans. Visualization and Computer Graphics, 15(2): 249–261, 2009.
[4]P. Kerm, “Adaptive Kernel Density Estimation,” The Stata Journal, 2:148–156, 2002.
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