CFD系集模拟数据中物质运输的比较性可视分析 (Comparative Visual Analysis of Lagrangian Transport in CFD Ensembles)

系集模拟是一种常用来研究复杂模型的方法。科学家们在不同控制参数下,重复地运行他们的模型,获得模拟结果,通过分析各模拟运行结果之间的差异,来深入了解参数空间或者模型空间,以求克服现实物理世界的复杂性。在计算流体动力学 (Computational Fluid Dynamics, CFD) 中,物理学家通过在不同的控制参数下,反复地进行系集模拟 (ensemble run),生成多组流场数据。通过比较流场数据,物理学家对流体模型可以有更加深刻地了解。可视分析的引入,使得这个过程更加便利。Hummel等人的工作关注系集流场数据中物质运输行为的比较,提出了他们基于拉格朗日描述的可视分析系统。这篇文章获得了IEEE VIS 2013 SciVis的最佳论文奖。

图1:2D convection数据的可视化结果。左图展示了四次模拟中个体方差较大的部分;中图展示了分类空间;右图展示了对系集域空间的可视化。其中绿色表示系集间相似,红色表示系集间差异较大,狼色和白色表示系集间差异程度不确定。

图1:2D convection数据的可视化结果。左图展示了四次模拟中个体方差较大的部分;中图展示了分类空间;右图展示了对系集域空间的可视化。其中绿色表示系集间相似,红色表示系集间差异较大,狼色和白色表示系集间差异程度不确定。

作者考虑采样位置及其附近邻域内所有采样点生成的迹线的行为,以此出发衡量系集模拟的流场数据间的差异。

首先,作者将邻域的定义一般化,对于任一目标位置,凡是满足一定谓词的采样点都将认为是其邻居,
neighborhood
通常情况下,我们会使用半径为r的圆形(球形)邻域,但在一般化邻域的定义之后,某位置的邻域可能为不连续的空间。这也将影响之后的分析方法。在这个工作中,作者将圆形(球形)邻域的谓词扩展到多次模拟的系集数据下,
ensemble_predicate
表示在各次模拟中,距目标位置x(t)的距离小于r的采样点均为x(t)的邻域。

作者接着定义系集邻域中所有采样点的系集差异,用于指导系集流场数据的可视分析。作者经过讨论认为基于FTLE的方法因为一般化后、系集定义下的邻域不满足的线性性 (linearity) ,因而不适合计算流图 (flow map) 的梯度,所以不适合解决这个问题。作者最终选择PCA算法,通过衡量邻域所有采样点在流场中移动一段时间后的位置的特征,来表现系集间的差异。具体来说,对于一个采样点,获取其邻域中所有点经历一段时间移动后的位置的集合,计算它们的协方差矩阵,然后获取其最大的特征值。作者将这个特征值定义为联合方差 (joint variance),用以表现流场在系集间的差异。一般来说,低联合方差值表示系集间在这个采样点附近差异较小,但反过来,高联合方差值并不能说明系集间差异就大,因为单次模拟可能在这个点附近就有差异较大的行为,从而影响了联合方差。

作者进而定义个体方差 (individual variance),用来衡量在单次模拟中,采样点附近的差异。个体方差用于剔除单次模拟的影响,以及噪声等带来的影响。与联合方差不同,个体方差仅仅考虑同一次模拟中的采样点,而非所有系集模拟的点,个体方差的其它计算与联合方差类似。针对单次模拟的个体方差与FTLE值有着类似的意义,较低的值意味着在这个采样点附近的运输行为比较相似,较高值则以为差异较大。每个采样点对应于一个联合方差和多个个体方差,但想要在二维屏幕上展示所有点的方差值并不容易。作者进一步对所有个体方差取均值,得到平均个体方差(average individual variance),用来度量单次模拟的运输行为差异的平均情况。

这样,每个采样点有一个联合方差与一个平均个体方差,用于描述其在系集数据中的运输行为。这些采样点可以很容易地投影到二位平面中形成散点图,称之为分类空间(classification space)。根据两个维度取值的高低,可以大致将整个空间分为四个部分。需要注意的是,这里取值高低的分界线由用户主观确定,并没有绝对的标准。下图展示了其中两种情形。第一种情形中,单次模拟中邻域的运输行为较为接近,而各次模拟之间的差别较大,所以这种情形具有高联合方差和低个体方差。第二种情形中,单次模拟中邻域的运输行为差异较大,同时两次模拟之间的差异也很大,所以这种情形具有高联合方差和高个体方差,但是我们还无法确定地给出结论,认为“在这个采样位置上,这两个模拟之间差异较大”。

图2:分类空间中的两种情形。第一种情形中,单次模拟中邻域的运输行为较为接近,而各次模拟之间的差别较大,所以这种情形具有高联合方差和低个体方差。第二种情形中,单次模拟中邻域的运输行为差异较大,同时两次模拟之间的差异也很大,所以这种情形具有高联合方差和高个体方差,但是我们还无法确定地给出结论,认为“在这个采样位置上,这两个模拟之间差异较大”。

图2:分类空间中的两种情形。第一种情形中,单次模拟中邻域的运输行为较为接近,而各次模拟之间的差别较大,所以这种情形具有高联合方差和低个体方差。第二种情形中,单次模拟中邻域的运输行为差异较大,同时两次模拟之间的差异也很大,所以这种情形具有高联合方差和高个体方差,但是我们还无法确定地给出结论,认为“在这个采样位置上,这两个模拟之间差异较大”。

作者分别对方差空间与系集模拟域 (ensemble domain) 空间进行可视化,如图1所示。方差空间分别使用四种颜色来表示四块区域,在系集模拟域空间的展示中也分别使用这四种颜色的映射。在方差空间的可视化中,允许用户调节高低值的分界线。在系集模拟域空间的可视化中,系统允许用户选择采样点动态生成流线,直接观察其运输行为。同时,系集模拟域空间中允许用户设计更加灵活的传递函数,这与二维传递函数设计类似。

下图展示了对stirring数据的可视分析结果。右下角的图中,只使用联合方差的信息对系集模拟的域空间进行可视化。此时,尽管高联合方差的区域被提取出来,但并不能排除其中单次模拟运输行为带来的影响,所以不能直接对系集间运输行为的差异下结论。左边两幅图展示了联合方差——个体方差空间,通过调节高低值的分界线,对系集模拟域空间的可视化也有不同的效果,如中间两幅图所示。右上角的图中,进一步对每个采样位置不同运输行为的数目进行可视化。通过交互地流线生成过程,作者发现在具有两种不同运输行为的采样位置中,大部分只有一次模拟的结果与其他模拟不同,而不是多次模拟。

总起来看,这个工作最大地贡献在于:通过同时考虑联合方差与个体方差,比较完整地定义了CFD系集模拟数据间的比较关系,并实现了一套工具用于可视比较CFD系集模拟数据。

参考文献
[1] Hummel, M., Obermaier, H., Garth, C., & Joy, K. I.. Comparative Visual Analysis of Lagrangian Transport in CFD Ensembles. Visualization and Computer Graphics, IEEE Transactions on19(12), 2743-2752, 2013.

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